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Matrjoschkas

14. Januar 2012

Matrjoschkas sind Holzfiguren, gefüllt mit weiteren jeweils etwas kleineren Holzfiguren der selben Form.

Das Prinzip wird bei den Faltkörpern ähnlich umgesetzt.

Bunter Stern

Bunter Stern - Video

Der Bunte Stern (Shop/Video) ist ein Körper aus 43 Faltfiguren.
Die äußere Form ist die pentagonale Bipyramide (1), ein fünfeckiger Stern mit 10 Außenseiten. Der Bunte Stern wird geöffnet, also aufgefaltet und es kommen drei weitere Körper zum Vorschein. Zwei triangulare Bipyramiden und ein großer Tetraeder. Insgesamt befinden sich im Bunten Stern fünf große Tetraeder (2-6). Vier davon stecken in den zwei triangularen Bipyramiden (7-8), die aufgefaltet werden müssen, um jeweils die zwei großen Tetraeder zu finden.

gefüllter Tetraeder

Die Tetraeder sind die einfachsten Faltfiguren und kommen in der Faltmatrjoschka noch häufiger vor. Denn ein großer Tetraeder ist gefüllt mit vier kleinen Tetraedern (9-28) und einem Oktaeder (29-33) in dem noch zwei Quadratpyramiden (34-43) stecken.

Die Matrjoschka Bunter Stern ist eine passgenaue Sammlung aus Quadratpyramiden, Oktaedern, Tetraedern, triangularen und einer pentagonalen Bipyramide/n.

Ebenso passgenau sind der Klassenkeil (Video) und Die Kerze.
Der Klassenkeil ist ein verdrehter Doppelkeil. Die verdrehten Keile sind triangulare Prismen oder Fünfseiter mit drei Quadraten und zwei Dreiecken. Zwei Prismen verbergen sich im Klassenkeil.

Die Kerze

Die Kerze (Shop) ist eine verlängerte triangulare Bipyramide und besteht aus nur einem triangularen Prisma und zwei Tetraedern. Anhand des Bildes wird hoffentlich verständlich, warum ich diese Faltmatrjoschka auch gern Feuer im Dachstuhl nenne.

Etwas ausgefallener sind die Matrjoschkas: Im Hause Becking und der Oktaeder der Weissagung (Shop).
Ein Oktaeder hüllt einen viel kleineren Oktaeder ein, der zwei Quadratpyramiden passgenau verbirgt.
Noch nicht ausgefallen genug? Dann nun: Im Hause Becking ist ein verlängerte Quadratpyramide. Das Dach des Hauses ist die Quadratpyramide auf einem Würfel. Soweit so passgenau. Im Würfel jedoch ist ein kleiner Oktaeder und in diesem ein noch kleinerer Kuboktaeder, ein 14-seiter.
An diesen beiden Matrjoschkas ist auffällig, dass sie klappern, wenn sie geschüttelt werden. Die Menge der Faltkörper im Bunten Stern ist kaum zu glauben, da sich nichts bewegt oder raschelt. Aber selber gucken macht gespannt.

Idee der Faltkörper

14. Dezember 2011

Ich verfolge den Gedanken von Ulises Carrion, der das KunstBuch als eine besondere Gattung des Buches heraus stellen wollte.

Faltkörper sind jedoch keine Künstlerbücher, sondern zeitlich und räumlich orientierte Gebilde. Darin liegt der Kern dieser Faltkörper. Ich kann den Zeitpunkt und die Richtung des Sehens bestimmter Informationen und Bilder festlegen. Es ist dem Betrachter nicht frei gestellt, einfach zu blättern. Vielmehr müssen sie sich an die Reihenfolge halten, die das FaltBuch vorgibt. Jede Seite dieser Faltkörper ist ein funktionales Element bei der Suche nach dem Ende. Das Daumenkino ist unmöglich. Statt dessen ist die perspektivische Gestaltung offensichtlich.
Ist das konventionelle Buch eine beinahe ausschließlich zweidimensional beschränkte Form des Drucks, sind die Faltkörper stabil und über Ecken nicht nur visuell räumlich! Die Stabilität der Ecken und Kanten überschreitet die fragilen Konstruktionen der Pop-up Bücher, die allein dem optischen Eindruck dienen. Das Anfassen ist aber Programm und das Blättern ein Falten in oder aus der Form.

Doch können die Faltfiguren nicht nur Inhalte auf dem Papier verbergen, sie sind innen hohl und bieten auf diese Weise Platz für zusätzliche Dinge. Es ist möglich Matrjoschkas zu erstellen, die aus Kombinationen von Körpern bestehen und nicht schlicht nach innen immer kleiner werden. In einen Kuboktaeder passen acht Tetraeder und sechs Quadratpyramiden, im Bunter Stern befinden sich Tetraeder, Quadratpyramiden, Oktaeder und triangulare Bipyramiden.

Wofür taugt der ganze Spaß?
Einmal, es bietet neue Möglichkeiten der Gestaltung. Der Raum und die optische Täuschung gehen hier Hand in Hand. Zweimal, die Figuren bieten Platz für Gegenstände oder weitere Faltkörper. Dreimal, sie veranschaulichen berechneten Raum, der in der Mathematik bisher immer abstrakt blieb und nun greifbar ist.

Quader aber nur zwei Quadrate – Faltpalindrom

23. November 2011

Dieser Quader ist die ominöse Fortsetzung des vereinfachten Würfels. Es ist die nahezu gleiche Faltvorlage, bei der nur zwei Seiten zum Würfel fehlen, da sie für die Stabilität nicht von Nöten sind.
Die Gestaltung versteht sich ebenso als Spaß, wie die Ominösität der Fortsetzung. Mit der Ernsthaftigkeit ist es nicht weit her, wenn die Faltform sich im Prinzip nicht verändert und nur in ihrer Breite bzw. Länge verdoppelt hat.

Die Gedanken bei der Gestaltung folgten der Veranschaulichung eines Steines. Wie kann ich einen Stein gestalten, wenn Bildmaterialien zu einem Objekt für alle vier Seiten geradezu nicht auffindbar sind. Sei es drum.

Palindromatisch

Alle Faltkörper sind pallindromatisch, sprich das Außen kann innen, das Innen kann außen sein und die Form wird ebenso stabil…oder anders formuliert: Man kann die Faltkörper vorwärts und rückwärts zusammenbauen, sie ergeben die gleiche Form. Doch wurde die Gestaltung bisher nur für eine Richtung angelegt.
Dies hat sich nun bei diesem Körper geändert.

Die Form ist zwar palindromatisch zusammenfaltbar, muss aber nicht, denn es gibt hier zwei Möglichkeiten, den Körper zu stabilisieren. Diesen zwei Möglichkeiten wird Tribut gezollt: die beiden Versionen sind unterschiedlich in der Außengestaltung.

Wer den Faltkörper drucken will, braucht einen sehr guten Copyshop, in dem der Versatz von Vorder- und Rückseite bei 0 liegt. Ich kann dafür den Copyshop in der Wörtherstr. empfehlen: solid earth. Dort gibt es eine gute Betreuung und die Canon taugt… hier die pdf

Viel Spaß und immer her mit Feedback.

Reduzierter Würfel oder Geschenkverpackung

18. Oktober 2011

Endlich ist es soweit. Die einfachste Art einen stabilen Würfel zu falten. Eine nette Verpackung für Kleinigkeiten.

Anders als die Kalte Faltbox wird diese Vorlage kein ganzes Blatt füllen. Die Vorlage ist eine Version eines Würfels, die wie die Faltbox ohne Kleber auskommt und stabil sein wird. Wobei ich in diesem Fall sagen muss, es ist relativ stabil. Da es wenige Seiten gibt die doppelt gelegt sind und eine sogar nur einfach…

Würfel innen

Würfel innen

Würfel außen

Würfel außen

Aber seht selbst. 62mm Kantenlänge ;-p

Eine Geschenkverpackung für ein DIN A3+ (SRA3)

Oder noch besser als :-pdf

Bei dieser Faltvorlage war nicht viel Erfindergeist nötig. Es scheint mir sogar zwangsläufig zu dieser Vereinfachung kommen zu müssen. Der Anspruch, ein vollständiges Blatt zu füllen, mit einem Schnittmuster so zu versehen und letztlich möglichst einfach faltbar zu machen, war zu weit gegriffen. Hinzu kam auch noch, dass mit der Faltreihenfolge ein Text lesbar war und so Seite um Seite offenbar wurde…pff

Geschenkwürfel

Berliner Kristall – Triangulare Bipyramide

23. September 2011

Ein Kristall besteht aus regelmäßig angeordneten Atomen, die ein Kristall-Gitter ergeben. Im Falle des Berliner Kristalls ist es ein idiomorpher, tretragonaler und hexagonaler Kristall. Die Mineralien Scheelit, Anatas, Ullmannit und Boracit sind in ihrer Kristallform (Einheitszelle) diesem Faltkörper ähnlich.

Nicht wenige Mineralien bilden kristalline Strukturen, die mit einer Einheitszelle an die geometrischen Figuren der Mathematik erinnern. Die Formen sind z.B. dem Würfel, dem Oktaeder, dem Tetraeder usw. nah verwandt. Ihre Strukturen lassen eine modellhafte Darstellung dieser Kristalle zu. Angereichert mit der chemischen Zusammensetzung und der Kristallfarbe als Hülle, ergibt sich eine neue Illustrations- bzw. Lehrbogenmöglichkeit für die Faltkörper.

Die Triangulare Bipyramide ist in der Stereometrie jedenfalls ein Deltaeder und Johnson-Körper (J12). Die Faltform ist aus der Schnittvorlage für Deltaeder herstellbar und kann ein ganz anderes Faltmuster bekommen, als dieses gewählte.

Der Berliner Kristall ist entfaltet in die Breite gezogen und beherbergt 360° Bilder Berliner Orte. Die einzelnen Versionen sind auf die Bezirke angepasst. Der Berliner Fernsehturm in Mitte, die Siegessäule in Tiergarten, Ecke Schönhauser in Prenzlauer Berg usw. Sie sind außen mit der Berliner Flagge versehen und offenbaren beim Entfalten ihre Zugehörigkeit. Wer an ein touristisches Produkt denkt, ist da völlig richtig. Aber irgendwie heißt es für alle, die in Berlin Geld machen wollen, sie müssen es sich bei den Touristen holen.

Ein Video dazu ist bei YouTube zu sehen.

Dodekaeder

15. September 2011

An diesem Faltkörper beiße ich mir gerade die Zähne aus.

Er ist der vierte der fünf platonischen Körper und nicht als flächiges Schnittmuster konstruierbar! Da er eine Fünfeck zur Basis hat, das einen Eckwinkel von 108° hat, können zwar drei von ihnen an einer Ecke zusammen kommen, sie schließen aber keinen Kreis, da die Winkelsumme nur 324° ist, aber 360° sein müsste.
Darum muss das Schnittmuster, wie bei allen Mischformen der Körper, mit Leerstellen auskommen.

Das Problem, dem ich auf der Spur bin ist selbst gestellt. Es sollte zu Beginn immer eine Art Schloss oder ein Knoten entstehen, der den Faltkörper stabilisiert, damit er von dieser ersten Konstruktion aus weiter zusammen gefaltet werden kann.

Das Schnittmuster ist zwar willkürlich entworfen, doch gibt es schon ein solches Schloss.

Dodekaeder Schnittmuster A4

Es ist auf dem gezeigten Schnittmuster nicht ausgezeichnet. Aber ich kann sagen, dass mit diesem Schnittmuster zumindest ein Dodekaeder geformt werden kann. Er bedarf noch einiger Verbesserungen, aber dafür stelle ich ihn ein.

Wer also diese Faltform verbessern möchte, kann sich herausgefordert fühlen! Die Seiten mit Farbverlauf sind keine wichtigen Seiten. Das s/w Muster dient nur der Orientierung. Die Trennstellenstellen der direkt verbundenen Seiten sind noch nicht eingetragen, werde ich aber demnächst aufzeigen.

pdf-Link-DIN A4 Schnittvorlage

Lehrbogen Tetraeder II

5. September 2011

Mit der zweiten Version des Tetraederbogens wurden auf der Vorderseite die ersten beiden Aufgabenstellungen platziert und die dazugehörigen Formeln samt grafischen Darstellungen. Es sollen zuerst der Flächeninhalt einer Seite und der Umfang dieser berechnet werden.

Nr. 2

Die Kantenlänge ist 70 mm und der Flächeninhalt A somit 2121,76mm2. Mit einer ähnlich gebrochenen Zahl setzt es sich beim Volumen fort.

Von Schulaufgaben ist mir bekannt, dass sie oft mit runden Zahlen auskommen, um beim Ergebnis Sicherheit zu vermitteln, die richtige Lösung gefunden zu haben. Für den Flächeninhalt und das Volumen sind natürliche Zahlen eventuell unrealistisch, da sie mit Wurzel 2 und 3 errechnet werden.

Die nächste Aufgabe fordert die Höhen zu errechnen. Die Seitenhöhe hs und die Körperhöhe h. Dafür ist einmal eine 3D Darstellung des Tetraeders abgedruckt, mit den beiden angesprochenen Linien und auf einer anderen Seite ist die Seitenhöhe hs in der Fläche illustriert.

Danach wird der Oberflächeninhalt abgefragt, der simpel mit der Vervierfachung von A errechnet werden könnte, wobei das der Unterschied der beiden Formeln ist…

Zuletzt gibt es drei Illustrationen zur Symmetrie. Das Tetraeder ist in 24 Weisen symmetrisch. Um zwei Symmetrieachsen und über eine Symmetrieebene. Die 24 Weisen setzen sich aus 12 Permutationen zusammen: 1 die identische Abbildung nach der Drehung, 3 Drehungen um 180° und 8 Drehungen um nur 120°. Die 12 weiteren Permutationen werden an der Symmetrieebene vorgenommen. Die genannten Informationen werden nicht aufgeführt, denn es soll nur die Symmetrie erkannt werden, nicht die Fülle der Möglichkeiten.

Bisher aus bleib, der Innenseiten Maße zu korrigieren.