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Entwurf eines Lehrbogens zu Euklid

13. November 2013

Euklids geometrische Beweise lesen sich sehr kryptisch und wenn sie nicht visualisiert werden, kann der Beweis schon Mal unverständlich bleiben. Zumindest gehe ich bei dieser Annahme von mathematisch wenig Belesenen aus.

Lithograph of Oliver Byrne. Original in the posession of Gerald L. Alexanderson, Michael and Elizabeth Valeriote Professor in Science at Santa Clara University.

Oliver Byrne veröffentlichte 1847 eine farbliche Visualisierung der euklidischen Beweise. Diese Übertragung ins Visuelle erleichtert das Verständnis der Beweise ungemein! Die Winkel, Geraden, Seiten und Flächen, von denen der betreffende euklidische Beweis handelt, sind koloriert und in einer separaten Ausführung, der Beweisführung folgend, minimiert beigefügt. Alle euklidischen Beweise aus den Elementen werden in dem Buch visualisiert. Das Buch ist digital im Internet verfügbar.
Ausgehend von diesen Beweisführungen, die farblich recht ansehnlich sind, habe ich sie auf einen einfachen Faltkörper übertragen.

Das Tetraeder dient als Grundlage des vorliegenden Faltkörpers. In der vorhandenen Lehrbogenausführung wird eine reine Formelsammlung auf der Faltvorlage abgebildet. So kann das Volumen, die Mantelfläche etc. des Tetraeders berechnet werden und es ist veranschaulicht, was die errechneten Zahlen greifbar bedeuten.
Es ist so oft in der Mathematik so oft der Fall gewesen, nichts Konkretes mit den Zahlen verbinden zu können. Hierbei ist es nun der Fall!
Jedoch würde das Tetraeder die Bedingungen für die euklidischen Beweise zu sehr einschränken. Daher ist das Tetraeder zu einem geometrischen Körper geworden, an dem es zwei unterschiedliche Kantenlängen gibt, statt nur einer, wie es sich für einen Tetraeder gehört.

Die vier vorliegenden Beweise sind lose gewählt. Die Flächen, Winkel und Geraden sind den Farben Byrnes angenähert. Es wurde eine Farbe Tetraeder_Euklid_Schnittstellen_beidehinzugefügt, um die vier Beweise an dem einen Faltkörper aufzubringen. Sinn und Zweck der Übertragung ist es, die euklidischen Beweise ausführen zu können. Wird behauptet, dass ein Dreieck mit gleichen Kantenlängen identisch sein wird, so kann mit der Faltvorlage der Beweis erfaltet werden. Sollen zwei Seiten parallel sein, so können sie aufeinander gelegt werden und der Beweis ist erbracht. Ebenso verhält es sich mit den Winkeln. Für die Orientierung sind die entsprechenden Farben gewahrt.

Eine Druckvorlage ist in DIN A3 als pdf verfügbar.

PAC-Man?

16. August 2012

Die Faltkörper sind nicht immer einfach oder eindeutig, aber in diesem Fall ist es sogar verwirrend.
Der Faltkörper ist ein wenig anders, als die die bisherigen Körper. Er lässt sich mit einem Handgriff öffnen bzw. er ploppt auf. Ein eingeklebter Magnet hält den Körper in Form und geschlossen.
Was sonst als wichtige Bedingung der Konstruktion galt, wurde bei diesem Körper über den Haufen geworfen. Dennoch ist er komplett gefaltet und nur die Magnete sind geklebt 😉

Die Alte Nationalgalerie als Faltkörper

17. Mai 2012

Auf der Museumsinsel gibt es fünf Museen und von denen habe ich mir Eines heraus genommen und dazu einen Faltkörper entworfen. Alte Nationalgalerie

In Zusammenarbeit mit einem Freund, der auf der Insel haust und beinahe jeden Tag mit sich selber redend durch die Museumsgänge wandelt, streunte mit mir durchs Gebäude. Da dieser Freund sich super in der Alten Nationalgalerie auskennt, habe ich ihn mit einer Menge Bier und Whiskey dazu gebracht von den Räumen und einigen Exponaten Fotos zu machen. Sie wurden der entrückte Inhalt des Faltkörpers. Caspar David Friedrich, Franz von Stuck uvm. sind nun eingefaltet.

Zwar hat die erste Version einen Druckfehler und dieser beschränkt sich auf die Vorderseite, dennoch wird deutlich, welche Größe sie aus DIN A3 bekommt. Es zeigte sich mit der ersten Version auch, dass die Faltung zwar komplex erscheint, aber gar nicht ist. Denn es gilt wieder das Prinzip vom Wickeln und Stecken. Beachten die Falter, dass die Fassade außen ist und zuletzt dran kommt, vergeht nicht einmal eine Minute, um das Gebäude zu falten. Alte Nationalgalerie offen

Beim Öffnen des Faltkörpers kommen nicht nur Exponate zum Vorschein. Ein wichtiges Augenmerk an diesem wunderbar alten Gebäude ist seine Architektur. Sind neuere Museen oft verwinkelt oder mit gewaltigen Ausstellungsräumen versehen, fällt beim Begehen der Alten Nationalgalerie auf, dass der Rundgang nicht als solcher offenbar wird. Die hinteren im Bogen angeordneten Räume lassen glauben, es ginge immer geradeaus. Mit etwas Alkohol im Blut, ist die Verwirrung perfekt, da spreche ich aus eigener Erfahrung.

Diesen Bogen konnte ich bei der Entwicklung des Faltkörpers aber nicht berücksichtigen. Vielleicht später einmal…

Kerze oder Feuer im Dachstuhl

6. März 2012

Die Kerze ist ein etwas vertrackter Faltkörper. Er ist symmetrisch angelegt und besteht als Matrjoschka aus insgesamt vier Faltkörpern. Zwei Tetraedern, die den geometrischen Namen ausmachen. Eine verlängerte triangulare Bipyramide. Soll heißen, die zwei Tetraeder wären eigentlich eine triangulare Bipyramide, die jedoch von einem triangularen Prisma verlängert wird. Somit: Eine verlängerte triangulare Bipyramide 😉

Die verlängerte Bipyramide wurde als Kerze gestaltet. Ich wurde von Gerhard Richter inspiriert, der eine wunderbare, szenisch interessante Kerze inszeniert hat. Ich kenne sie als Postkarte an einer Tür und sie begegnete mir dort angeklebt über ein paar Jahre immer wieder und so gewann sie in meinem Kopf einen Platz, der nun seine eigene Entfaltung fand. Von drei Seiten ist sie zu sehen und entfacht im Inneren zur Entfaltung ein großes Feuer. Die Rückseite hingegen ist ein Wasserfall und umschließt somit ein Dach und die beiden Tetraeder, wovon der eine ein Schild zeigt, wo das Wasser ist und der andere im Prinzip brennt…
So kommt der Name zustande, ein Feuer im Dachstuhl.

Das Video habe ich mit tatkräftiger Unterstützung von Christian Blottner gemacht, der mehr oder weniger geduldig die Kamera bediente und mir direkt beisaß, als ich faltete.Vielen Dank an Dich und hier nun das Video:

Kuboktaeder

17. Februar 2012

Das Kuboktaeder ist ein 14-Flächner, bestehend aus 6 Quadraten und 8 Dreiecken. Die Besonderheit dieses Körpers ist, dass alle Ecken den selben Abstand zum Mittelpunkt des Körpers haben und dieser Abstand die Kantenlänge des Kuboktaeders ausmacht. Das bedeutet, mit 6 Quadratpyramiden und 8 Tetraedern wird das Kuboktaeder vollständig ausgefüllt. Dies ist interessant, da auf diese Weise wieder eine Matrjoschka entstehen kann, wie es beim Bunten Stern der Fall ist. Jedoch mit weit weniger Körpern.

Die Erarbeitung des Faltmusters wurde nach dem 5. Projektprinzip angelegt. Den Anfang der Faltung macht ein Knoten. Es wird eine Lasche in eine Schlaufe gezogen und zwei Quadrate liegen fest aufeinander. Die untere Hälfte des Kuboktaeders ist damit fest. Das klingt schwierig, ist aber auf dem Papier anleitend und sparsam illustriert. Es gibt rote leitende Punkte an den Ecken der jeweiligen Seiten. Das zu bedeckende Quadrat ist zudem völlig weiß und die Gestaltung erst komplett, wenn die richtige Anordnung geschaffen wurde.

Die restliche Faltung ergibt sich durch die schlichte Methode des Wickelns. Wobei es natürlich wichtig ist die Reihenfolge zu wahren. Denn an einer Stelle wird die Reihenfolge besonders deutlich und mit ein wenig Geschick ist diese Raffinesse eine Herausforderung.
Das Ende bzw. der Eingang des Kuboktaeders steht weit offen! Diese Besonderheit lässt es zu, das Kubokateder leicht zu befüllen und in den Innenraum zu schauen, ohne das es instabil wird.

Insgesamt erscheint das Kuboktaeder als ein sehr komplexer Körper, dessen Konstruktion nicht völlig erfasst werden kann. Aber es ist ein überaus symmetrisches geometrisches Gebilde! Schwerer zu drehen, als ein Kubus und Oktaeder allein, hingegen leichter, als ein Rhombenkuboktaeder.
Bei Interesse am Faltmuster einfach melden: info@justfolded.de

Und hier ein Faltvideo:

Box for matches – an example

21. Januar 2012

Eine etwas extravagante Streichholzschachtel.

Die Herstellung dieser Schachtel ist einfach. Nur wenige Schritte sind nötig, eine solche Schachtel selber zu basteln und ein kurzes Video gibt von Anfang bis Ende Einblick in den Verlauf der Herstellung. Es wird der minimale Umgang mit GIMP gezeigt, und dabei im Speziellen, das notwendige Arbeiten mit Ebenen. Die benötigten Daten stehen hier zur Verfügung: box for matches.zip

DIY gehörte für mich zur Anfangsmotivation die Faltkörper zu entwerfen. Kleber ist ein verhältnismäßig schwieriger Werkstoff, der nur mit Vorsicht und Geschick unsichtbar verwendet wird und neben der Zeit auch den Aufwand vergrößert. Ausdrucken, schneiden und falten sind genug. 😉

Gebrauchshinweise:

  1. Im DLC(downloadable content) ist eine PNG-Datei (outline_matches.png), die als Vorlage dienen kann, die Außenseiten des Faltkörpers digital zu bearbeiten. Der Vorteil an PNG-Dateien ist, sie können transparente Flächen beinhalten. Wird in einem Bildbearbeitungsprogramm ein anderes Bild auf einer Ebene unter dem PNG platziert, ist das Bild an den transparenten Stellen sichtbar. Alles was sichtbar ist, wird schließlich gedruckt.
    Die PNG liefert die schwarzen Außenlinien und verdeckt den äußeren Verschnitt. Die Druckfläche des Faltkörpers ist transparent. Auf der Verschnittfläche gibt es das Schnittmuster mit geschwärzten Außenseiten für die endgültige Faltung.
  2. Im DLC befindet sich eine XCF-Datei (outline_matches_yin.xcf) für die Weiterverarbeitung mit GIMP.
  3. Eine Textdatei (readme.txt) mit allen relevanten Informationen.
    Technische Voraussetzungen:
    Drucker DIN A4
    Schnittunterlage
    Cutter
    Lineal
    Falzbein

Das Anleitungsvideo ist ein Deja-vú-Clip for the shortest way to go…

Quadratpyramide

14. Januar 2012

Quadratpyramide - Schütze

Ein verkehrtes Trompe-l’œil…in diesem Fall eine Kaschierung des Räumlichen.

Die Quadratpyramide ist ein Faltkörper mit fünf Seiten. Vier Dreiecken und einer quadratischen Grundfläche. In der Aufsicht über der Spitze der Quadratpyramide wird aus dem vermeintlichen Zodiak ein Kreis. Von der Seite betrachtet ist der Tierkreis oval und nur zu einem Viertel sichtbar.
Auf der Unterseite befindet sich einmal das Symbol eines Sternzeichens oder die dazugehörige Sternformation am Himmel. Auf dem Foto ist das Symbol für den Schützen zu sehen.

Der Faltkörper lässt sich sehr einfach öffnen, hat eine stabile Spitze und bietet Platz für eine kleine Aufmerksamkeit passend zum Sternzeichen.

Die Quadratypramide Zodiak befindet sich im Oktaeder der Weissagung (Shop), einer Matrjoschka mit allen Sternzeichen, den Erdzweigen und Trigrammen. Da zwei Quadratpyramiden in den kleinen Oktaeder gehören, können zwei Sternzeichen zusammen kommen.