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Entwurf eines Lehrbogens zu Euklid

13. November 2013

Euklids geometrische Beweise lesen sich sehr kryptisch und wenn sie nicht visualisiert werden, kann der Beweis schon Mal unverständlich bleiben. Zumindest gehe ich bei dieser Annahme von mathematisch wenig Belesenen aus.

Lithograph of Oliver Byrne. Original in the posession of Gerald L. Alexanderson, Michael and Elizabeth Valeriote Professor in Science at Santa Clara University.

Oliver Byrne veröffentlichte 1847 eine farbliche Visualisierung der euklidischen Beweise. Diese Übertragung ins Visuelle erleichtert das Verständnis der Beweise ungemein! Die Winkel, Geraden, Seiten und Flächen, von denen der betreffende euklidische Beweis handelt, sind koloriert und in einer separaten Ausführung, der Beweisführung folgend, minimiert beigefügt. Alle euklidischen Beweise aus den Elementen werden in dem Buch visualisiert. Das Buch ist digital im Internet verfügbar.
Ausgehend von diesen Beweisführungen, die farblich recht ansehnlich sind, habe ich sie auf einen einfachen Faltkörper übertragen.

Das Tetraeder dient als Grundlage des vorliegenden Faltkörpers. In der vorhandenen Lehrbogenausführung wird eine reine Formelsammlung auf der Faltvorlage abgebildet. So kann das Volumen, die Mantelfläche etc. des Tetraeders berechnet werden und es ist veranschaulicht, was die errechneten Zahlen greifbar bedeuten.
Es ist so oft in der Mathematik so oft der Fall gewesen, nichts Konkretes mit den Zahlen verbinden zu können. Hierbei ist es nun der Fall!
Jedoch würde das Tetraeder die Bedingungen für die euklidischen Beweise zu sehr einschränken. Daher ist das Tetraeder zu einem geometrischen Körper geworden, an dem es zwei unterschiedliche Kantenlängen gibt, statt nur einer, wie es sich für einen Tetraeder gehört.

Die vier vorliegenden Beweise sind lose gewählt. Die Flächen, Winkel und Geraden sind den Farben Byrnes angenähert. Es wurde eine Farbe Tetraeder_Euklid_Schnittstellen_beidehinzugefügt, um die vier Beweise an dem einen Faltkörper aufzubringen. Sinn und Zweck der Übertragung ist es, die euklidischen Beweise ausführen zu können. Wird behauptet, dass ein Dreieck mit gleichen Kantenlängen identisch sein wird, so kann mit der Faltvorlage der Beweis erfaltet werden. Sollen zwei Seiten parallel sein, so können sie aufeinander gelegt werden und der Beweis ist erbracht. Ebenso verhält es sich mit den Winkeln. Für die Orientierung sind die entsprechenden Farben gewahrt.

Eine Druckvorlage ist in DIN A3 als pdf verfügbar.

PAC-Man?

16. August 2012

Die Faltkörper sind nicht immer einfach oder eindeutig, aber in diesem Fall ist es sogar verwirrend.
Der Faltkörper ist ein wenig anders, als die die bisherigen Körper. Er lässt sich mit einem Handgriff öffnen bzw. er ploppt auf. Ein eingeklebter Magnet hält den Körper in Form und geschlossen.
Was sonst als wichtige Bedingung der Konstruktion galt, wurde bei diesem Körper über den Haufen geworfen. Dennoch ist er komplett gefaltet und nur die Magnete sind geklebt 😉

Die Alte Nationalgalerie als Faltkörper

17. Mai 2012

Auf der Museumsinsel gibt es fünf Museen und von denen habe ich mir Eines heraus genommen und dazu einen Faltkörper entworfen. Alte Nationalgalerie

In Zusammenarbeit mit einem Freund, der auf der Insel haust und beinahe jeden Tag mit sich selber redend durch die Museumsgänge wandelt, streunte mit mir durchs Gebäude. Da dieser Freund sich super in der Alten Nationalgalerie auskennt, habe ich ihn mit einer Menge Bier und Whiskey dazu gebracht von den Räumen und einigen Exponaten Fotos zu machen. Sie wurden der entrückte Inhalt des Faltkörpers. Caspar David Friedrich, Franz von Stuck uvm. sind nun eingefaltet.

Zwar hat die erste Version einen Druckfehler und dieser beschränkt sich auf die Vorderseite, dennoch wird deutlich, welche Größe sie aus DIN A3 bekommt. Es zeigte sich mit der ersten Version auch, dass die Faltung zwar komplex erscheint, aber gar nicht ist. Denn es gilt wieder das Prinzip vom Wickeln und Stecken. Beachten die Falter, dass die Fassade außen ist und zuletzt dran kommt, vergeht nicht einmal eine Minute, um das Gebäude zu falten. Alte Nationalgalerie offen

Beim Öffnen des Faltkörpers kommen nicht nur Exponate zum Vorschein. Ein wichtiges Augenmerk an diesem wunderbar alten Gebäude ist seine Architektur. Sind neuere Museen oft verwinkelt oder mit gewaltigen Ausstellungsräumen versehen, fällt beim Begehen der Alten Nationalgalerie auf, dass der Rundgang nicht als solcher offenbar wird. Die hinteren im Bogen angeordneten Räume lassen glauben, es ginge immer geradeaus. Mit etwas Alkohol im Blut, ist die Verwirrung perfekt, da spreche ich aus eigener Erfahrung.

Diesen Bogen konnte ich bei der Entwicklung des Faltkörpers aber nicht berücksichtigen. Vielleicht später einmal…

Kerze oder Feuer im Dachstuhl

6. März 2012

Die Kerze ist ein etwas vertrackter Faltkörper. Er ist symmetrisch angelegt und besteht als Matrjoschka aus insgesamt vier Faltkörpern. Zwei Tetraedern, die den geometrischen Namen ausmachen. Eine verlängerte triangulare Bipyramide. Soll heißen, die zwei Tetraeder wären eigentlich eine triangulare Bipyramide, die jedoch von einem triangularen Prisma verlängert wird. Somit: Eine verlängerte triangulare Bipyramide 😉

Die verlängerte Bipyramide wurde als Kerze gestaltet. Ich wurde von Gerhard Richter inspiriert, der eine wunderbare, szenisch interessante Kerze inszeniert hat. Ich kenne sie als Postkarte an einer Tür und sie begegnete mir dort angeklebt über ein paar Jahre immer wieder und so gewann sie in meinem Kopf einen Platz, der nun seine eigene Entfaltung fand. Von drei Seiten ist sie zu sehen und entfacht im Inneren zur Entfaltung ein großes Feuer. Die Rückseite hingegen ist ein Wasserfall und umschließt somit ein Dach und die beiden Tetraeder, wovon der eine ein Schild zeigt, wo das Wasser ist und der andere im Prinzip brennt…
So kommt der Name zustande, ein Feuer im Dachstuhl.

Das Video habe ich mit tatkräftiger Unterstützung von Christian Blottner gemacht, der mehr oder weniger geduldig die Kamera bediente und mir direkt beisaß, als ich faltete.Vielen Dank an Dich und hier nun das Video:

Kuboktaeder

17. Februar 2012

Das Kuboktaeder ist ein 14-Flächner, bestehend aus 6 Quadraten und 8 Dreiecken. Die Besonderheit dieses Körpers ist, dass alle Ecken den selben Abstand zum Mittelpunkt des Körpers haben und dieser Abstand die Kantenlänge des Kuboktaeders ausmacht. Das bedeutet, mit 6 Quadratpyramiden und 8 Tetraedern wird das Kuboktaeder vollständig ausgefüllt. Dies ist interessant, da auf diese Weise wieder eine Matrjoschka entstehen kann, wie es beim Bunten Stern der Fall ist. Jedoch mit weit weniger Körpern.

Die Erarbeitung des Faltmusters wurde nach dem 5. Projektprinzip angelegt. Den Anfang der Faltung macht ein Knoten. Es wird eine Lasche in eine Schlaufe gezogen und zwei Quadrate liegen fest aufeinander. Die untere Hälfte des Kuboktaeders ist damit fest. Das klingt schwierig, ist aber auf dem Papier anleitend und sparsam illustriert. Es gibt rote leitende Punkte an den Ecken der jeweiligen Seiten. Das zu bedeckende Quadrat ist zudem völlig weiß und die Gestaltung erst komplett, wenn die richtige Anordnung geschaffen wurde.

Die restliche Faltung ergibt sich durch die schlichte Methode des Wickelns. Wobei es natürlich wichtig ist die Reihenfolge zu wahren. Denn an einer Stelle wird die Reihenfolge besonders deutlich und mit ein wenig Geschick ist diese Raffinesse eine Herausforderung.
Das Ende bzw. der Eingang des Kuboktaeders steht weit offen! Diese Besonderheit lässt es zu, das Kubokateder leicht zu befüllen und in den Innenraum zu schauen, ohne das es instabil wird.

Insgesamt erscheint das Kuboktaeder als ein sehr komplexer Körper, dessen Konstruktion nicht völlig erfasst werden kann. Aber es ist ein überaus symmetrisches geometrisches Gebilde! Schwerer zu drehen, als ein Kubus und Oktaeder allein, hingegen leichter, als ein Rhombenkuboktaeder.
Bei Interesse am Faltmuster einfach melden: info@justfolded.de

Und hier ein Faltvideo:

Box for matches – an example

21. Januar 2012

Eine etwas extravagante Streichholzschachtel.

Die Herstellung dieser Schachtel ist einfach. Nur wenige Schritte sind nötig, eine solche Schachtel selber zu basteln und ein kurzes Video gibt von Anfang bis Ende Einblick in den Verlauf der Herstellung. Es wird der minimale Umgang mit GIMP gezeigt, und dabei im Speziellen, das notwendige Arbeiten mit Ebenen. Die benötigten Daten stehen hier zur Verfügung: box for matches.zip

DIY gehörte für mich zur Anfangsmotivation die Faltkörper zu entwerfen. Kleber ist ein verhältnismäßig schwieriger Werkstoff, der nur mit Vorsicht und Geschick unsichtbar verwendet wird und neben der Zeit auch den Aufwand vergrößert. Ausdrucken, schneiden und falten sind genug. 😉

Gebrauchshinweise:

  1. Im DLC(downloadable content) ist eine PNG-Datei (outline_matches.png), die als Vorlage dienen kann, die Außenseiten des Faltkörpers digital zu bearbeiten. Der Vorteil an PNG-Dateien ist, sie können transparente Flächen beinhalten. Wird in einem Bildbearbeitungsprogramm ein anderes Bild auf einer Ebene unter dem PNG platziert, ist das Bild an den transparenten Stellen sichtbar. Alles was sichtbar ist, wird schließlich gedruckt.
    Die PNG liefert die schwarzen Außenlinien und verdeckt den äußeren Verschnitt. Die Druckfläche des Faltkörpers ist transparent. Auf der Verschnittfläche gibt es das Schnittmuster mit geschwärzten Außenseiten für die endgültige Faltung.
  2. Im DLC befindet sich eine XCF-Datei (outline_matches_yin.xcf) für die Weiterverarbeitung mit GIMP.
  3. Eine Textdatei (readme.txt) mit allen relevanten Informationen.
    Technische Voraussetzungen:
    Drucker DIN A4
    Schnittunterlage
    Cutter
    Lineal
    Falzbein

Das Anleitungsvideo ist ein Deja-vú-Clip for the shortest way to go…

Quadratpyramide

14. Januar 2012

Quadratpyramide - Schütze

Ein verkehrtes Trompe-l’œil…in diesem Fall eine Kaschierung des Räumlichen.

Die Quadratpyramide ist ein Faltkörper mit fünf Seiten. Vier Dreiecken und einer quadratischen Grundfläche. In der Aufsicht über der Spitze der Quadratpyramide wird aus dem vermeintlichen Zodiak ein Kreis. Von der Seite betrachtet ist der Tierkreis oval und nur zu einem Viertel sichtbar.
Auf der Unterseite befindet sich einmal das Symbol eines Sternzeichens oder die dazugehörige Sternformation am Himmel. Auf dem Foto ist das Symbol für den Schützen zu sehen.

Der Faltkörper lässt sich sehr einfach öffnen, hat eine stabile Spitze und bietet Platz für eine kleine Aufmerksamkeit passend zum Sternzeichen.

Die Quadratypramide Zodiak befindet sich im Oktaeder der Weissagung (Shop), einer Matrjoschka mit allen Sternzeichen, den Erdzweigen und Trigrammen. Da zwei Quadratpyramiden in den kleinen Oktaeder gehören, können zwei Sternzeichen zusammen kommen.

Matrjoschkas

14. Januar 2012

Matrjoschkas sind Holzfiguren, gefüllt mit weiteren jeweils etwas kleineren Holzfiguren der selben Form.

Das Prinzip wird bei den Faltkörpern ähnlich umgesetzt.

Bunter Stern

Bunter Stern - Video

Der Bunte Stern (Shop/Video) ist ein Körper aus 43 Faltfiguren.
Die äußere Form ist die pentagonale Bipyramide (1), ein fünfeckiger Stern mit 10 Außenseiten. Der Bunte Stern wird geöffnet, also aufgefaltet und es kommen drei weitere Körper zum Vorschein. Zwei triangulare Bipyramiden und ein großer Tetraeder. Insgesamt befinden sich im Bunten Stern fünf große Tetraeder (2-6). Vier davon stecken in den zwei triangularen Bipyramiden (7-8), die aufgefaltet werden müssen, um jeweils die zwei großen Tetraeder zu finden.

gefüllter Tetraeder

Die Tetraeder sind die einfachsten Faltfiguren und kommen in der Faltmatrjoschka noch häufiger vor. Denn ein großer Tetraeder ist gefüllt mit vier kleinen Tetraedern (9-28) und einem Oktaeder (29-33) in dem noch zwei Quadratpyramiden (34-43) stecken.

Die Matrjoschka Bunter Stern ist eine passgenaue Sammlung aus Quadratpyramiden, Oktaedern, Tetraedern, triangularen und einer pentagonalen Bipyramide/n.

Ebenso passgenau sind der Klassenkeil (Video) und Die Kerze.
Der Klassenkeil ist ein verdrehter Doppelkeil. Die verdrehten Keile sind triangulare Prismen oder Fünfseiter mit drei Quadraten und zwei Dreiecken. Zwei Prismen verbergen sich im Klassenkeil.

Die Kerze

Die Kerze (Shop) ist eine verlängerte triangulare Bipyramide und besteht aus nur einem triangularen Prisma und zwei Tetraedern. Anhand des Bildes wird hoffentlich verständlich, warum ich diese Faltmatrjoschka auch gern Feuer im Dachstuhl nenne.

Etwas ausgefallener sind die Matrjoschkas: Im Hause Becking und der Oktaeder der Weissagung (Shop).
Ein Oktaeder hüllt einen viel kleineren Oktaeder ein, der zwei Quadratpyramiden passgenau verbirgt.
Noch nicht ausgefallen genug? Dann nun: Im Hause Becking ist ein verlängerte Quadratpyramide. Das Dach des Hauses ist die Quadratpyramide auf einem Würfel. Soweit so passgenau. Im Würfel jedoch ist ein kleiner Oktaeder und in diesem ein noch kleinerer Kuboktaeder, ein 14-seiter.
An diesen beiden Matrjoschkas ist auffällig, dass sie klappern, wenn sie geschüttelt werden. Die Menge der Faltkörper im Bunten Stern ist kaum zu glauben, da sich nichts bewegt oder raschelt. Aber selber gucken macht gespannt.

Idee der Faltkörper

14. Dezember 2011

Ich verfolge den Gedanken von Ulises Carrion, der das KunstBuch als eine besondere Gattung des Buches heraus stellen wollte.

Faltkörper sind jedoch keine Künstlerbücher, sondern zeitlich und räumlich orientierte Gebilde. Darin liegt der Kern dieser Faltkörper. Ich kann den Zeitpunkt und die Richtung des Sehens bestimmter Informationen und Bilder festlegen. Es ist dem Betrachter nicht frei gestellt, einfach zu blättern. Vielmehr müssen sie sich an die Reihenfolge halten, die das FaltBuch vorgibt. Jede Seite dieser Faltkörper ist ein funktionales Element bei der Suche nach dem Ende. Das Daumenkino ist unmöglich. Statt dessen ist die perspektivische Gestaltung offensichtlich.
Ist das konventionelle Buch eine beinahe ausschließlich zweidimensional beschränkte Form des Drucks, sind die Faltkörper stabil und über Ecken nicht nur visuell räumlich! Die Stabilität der Ecken und Kanten überschreitet die fragilen Konstruktionen der Pop-up Bücher, die allein dem optischen Eindruck dienen. Das Anfassen ist aber Programm und das Blättern ein Falten in oder aus der Form.

Doch können die Faltfiguren nicht nur Inhalte auf dem Papier verbergen, sie sind innen hohl und bieten auf diese Weise Platz für zusätzliche Dinge. Es ist möglich Matrjoschkas zu erstellen, die aus Kombinationen von Körpern bestehen und nicht schlicht nach innen immer kleiner werden. In einen Kuboktaeder passen acht Tetraeder und sechs Quadratpyramiden, im Bunter Stern befinden sich Tetraeder, Quadratpyramiden, Oktaeder und triangulare Bipyramiden.

Wofür taugt der ganze Spaß?
Einmal, es bietet neue Möglichkeiten der Gestaltung. Der Raum und die optische Täuschung gehen hier Hand in Hand. Zweimal, die Figuren bieten Platz für Gegenstände oder weitere Faltkörper. Dreimal, sie veranschaulichen berechneten Raum, der in der Mathematik bisher immer abstrakt blieb und nun greifbar ist.

Quader aber nur zwei Quadrate – Faltpalindrom

23. November 2011

Dieser Quader ist die ominöse Fortsetzung des vereinfachten Würfels. Es ist die nahezu gleiche Faltvorlage, bei der nur zwei Seiten zum Würfel fehlen, da sie für die Stabilität nicht von Nöten sind.
Die Gestaltung versteht sich ebenso als Spaß, wie die Ominösität der Fortsetzung. Mit der Ernsthaftigkeit ist es nicht weit her, wenn die Faltform sich im Prinzip nicht verändert und nur in ihrer Breite bzw. Länge verdoppelt hat.

Die Gedanken bei der Gestaltung folgten der Veranschaulichung eines Steines. Wie kann ich einen Stein gestalten, wenn Bildmaterialien zu einem Objekt für alle vier Seiten geradezu nicht auffindbar sind. Sei es drum.

Palindromatisch

Alle Faltkörper sind pallindromatisch, sprich das Außen kann innen, das Innen kann außen sein und die Form wird ebenso stabil…oder anders formuliert: Man kann die Faltkörper vorwärts und rückwärts zusammenbauen, sie ergeben die gleiche Form. Doch wurde die Gestaltung bisher nur für eine Richtung angelegt.
Dies hat sich nun bei diesem Körper geändert.

Die Form ist zwar palindromatisch zusammenfaltbar, muss aber nicht, denn es gibt hier zwei Möglichkeiten, den Körper zu stabilisieren. Diesen zwei Möglichkeiten wird Tribut gezollt: die beiden Versionen sind unterschiedlich in der Außengestaltung.

Wer den Faltkörper drucken will, braucht einen sehr guten Copyshop, in dem der Versatz von Vorder- und Rückseite bei 0 liegt. Ich kann dafür den Copyshop in der Wörtherstr. empfehlen: solid earth. Dort gibt es eine gute Betreuung und die Canon taugt… hier die pdf

Viel Spaß und immer her mit Feedback.